Информационно-методический и научно-педагогический журнал

bbs teen child fuck bbs

Татьяна Леонидовна Панфилова,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВПО «Вологодский государственный университет»;
Нина Алексеевна Цыпленкова,
доцент ФГБОУ ВПО «Вологодский государственный университет»

Аннотация
В статье рассматривается, как изменение условия текстовой задачи влияет на ее решение. Приводятся примеры решения задач
Ключевые слова
Математика; методика обучения, текстовая задача

Текстовые задачи являются важным разделом курса школьной математики. Формирование умений решать сюжетные задачи – одна из главных и наиболее сложных проблем обучения предмету, особенно в свете одного из основных требований ФГОС ОО - перехода от репродуктивной деятельности обучающихся к продуктивной деятельности, направленной на формирование у них главного умения научить себя учиться. Построение современных уроков математики на принципах деятельностного обучения делает возможным использование следующих основных линий работы с текстовой задачей:
1. Сравнение и поиск общих методов решения задач, различных по сюжету, но сходных по математическому содержанию.
2. Изучение методов моделирования сюжетной задачи.
3. Сравнительный анализ арифметического и алгебраического методов решения задачи.
При решении текстовой задачи важную роль играет понимание ситуации, умение моделировать условие задачи, осознанно выбрать способ решения конкретной сюжетной задачи. Формированию этих умений способствует ещё одна линия работы с текстовой задачей: изучение влияния изменения условия задачи на её решение. Предложенная ниже для этих целей подобранная цепочка текстовых задач на основе распутывания той ситуации, которая отражена в каждой конкретной задаче, и перевода её на язык математических отношений способствует преодолению формализма в понимании внешней и внутренней структуры текстовой задачи.
Задача 1. Из города по двум взаимно перпендикулярным дорогам вышли в разное время два пешехода. Скорость одного из них – 4 км/ч, а другого – 5 км/ч. Сейчас пешеход, идущий скоростью 4 км/ч, находится в 7 км от города, а второй в 10 км. Через сколько часов расстояние между пешеходами будет 25 км?
Пусть расстояние между пешеходами будет 25 км через t часов. Тогда на основании теоремы Пифагора получаем уравнение (7 + 4t)2 + (10 + 5t)2 = 252 или 41t2 + 156t – 476 = 0. Один корень уравнения отрицательный и поэтому он не удовлетворяет условию задачи, второй корень t2 = 2. Значит, задача имеет единственное решение: расстояние между пешеходами будет 25 км через 2 часа.
Изменим направление движения участников и решим вторую задачу.
Задача 2. По двум взаимно перпендикулярным дорогам движутся в направлении перекрёстка велосипедист и мотоциклист. В некоторый момент времени велосипедист находился на расстоянии 8 км, а мотоциклист – на расстоянии 15 км от перекрестка. Через сколько минут после этого расстояние между ними будет равно 5 км, если скорость велосипедиста – 1/3 км/мин, а мотоциклиста – 1 км/мин?
Пусть расстояние между пешеходами будет 5 км через t минут. Тогда на основании теоремы Пифагора получаем уравнение (15-t)^2+(8-1/3 t)^2=5^2 или 5t^2-159t+1188=0. Оба корня уравнения положительные: t1 = 12 и t2 = 19,8. Косвенная проверка по смыслу не работает. После анализа ситуации (при наличии времени – проверки полученных корней с помощью решения обратной задачи) устанавливаем, что задача имеет два решения: расстояние между пешеходами будет 5 км дважды: через 12 минут (мотоциклист ещё не доехал до перекрёстка) и через 19,8 минуты (мотоциклист уже проехал перекрёсток).
Изменение направления движения участников не усложнило ни математическую модель задачи, ни решение уравнения, но этап интерпретации математического решения стал более интересным. Изменим угол между дорогами и решим третью задачу.
Задача 3. По двум дорогам, угол между которыми 45 градусов, два пешехода начинают движение одновременно по направлению к точке пересечения дорог. Их скорости постоянны. В начальный момент времени расстояние между пешеходами равнялось √17 км, а через час - √10 км. Найдите скорость пешеходов, если известно, что один пешеход достиг точки пересечения дорог за 4 часа, а второй за 5 часов.
Пусть скорость пешехода, который достиг точки пересечения дорог за 4 часа, составляет x км/ч, а скорость второго – y км/ч. Используя теорему косинусов, получаем систему уравнений:
{█(16x^2+25y^2-20√(2 ) xy=17,@9x^2+16y^2-12√2 xy=10.)┤
Умножим первое уравнение почленно на 10, а второе – на 17, вычтем второе уравнение из первого и получим однородное уравнение: 7x^2-22y^2+4√2 xy=0. Учитывая, что по смыслу задачи неизвестные x и y принимают только положительные значения, обозначив x/y через t, получаем уравнение 7t^2+4√2 t-22=0, которое имеет один положительный корень t=√2. Следовательно, x=y√2. Подставим полученное соотношение в любое из уравнений исходной системы, отбросим отрицательные корни, как неудовлетворяющие условию задачи, и получим единственное решение задачи: скорость одного пешехода √2 км/ч, а скорость второго 1 км/ч.
Изменение угла между дорогами заметно усложнило работу внутри математической модели (решаем уже не уравнение, а систему уравнений, сводящуюся к однородному уравнению). Вообще, надо отметить, что на сложность решения текстовой задачи влияет так же выбор обоснования для составления уравнения, выбор неизвестной величины, обозначенной за x. Рассмотрим это на примере решения следующей задачи.
Задача 4. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.
В момент выезда из посёлка третьего велосипедиста со скоростью x км/ч первый велосипедист был на расстоянии 30 км от посёлка, а второй – в 10 км. Поэтому третий велосипедист догонит второго через 10/(x-10) часов, а первого – через 30/(x-15) часов. Получаем уравнение: 30/(x-15) – 10/(x-10)= 7/3, откуда 7x^2-235x+1500=0. Оба корня уравнения положительные: x_1=25 и x_2=60/7, но второй корень не удовлетворяет условию задачи, так как 60/7 меньше 15. Значит, скорость третьего велосипедиста 25 км/ч.
Если ввести не одну неизвестную величину, а две: скорость третьего велосипедиста - x км/ч, время, за которое он догнал второго велосипедиста – t часов, и выбрать в качестве обоснования для составления уравнения расстояния от поселка до мест встреч велосипедистов, то получим систему уравнений, над решением которой придется изрядно потрудиться:
{█((x-10)t=10,@(x-15)(t+7/3)=30.)┤
Для выбора неизвестной и составления уравнения можно воспользоваться графической моделью задачи, представленной на рисунке 1, где KD- путь, пройденный первым велосипедистом до встречи с третьим, ВС - путь, пройденный вторым велосипедистом до встречи с третьим. Обозначив время, за которое третий велосипедист догнал второго, через t, выразим тангенс угла BLC из подобных треугольников BLC и DLK. В результате составим уравнение (10(t+1))/t=(15(2+t+7/3))/(t+7/3) или 3t^2+19t-14=0.

Один из корней уравнения отрицательный, а другой t=2/3. Тогда скорость третьего велосипедиста равна тангенсу угла BLC, то есть 25 км/ч.
В рамках изучения влияния изменения условия задачи на её решение можно предложить учащимся сравнить условия следующих задач и спрогнозировать отличия в решении.
Задача 5. Два автомобиля выехали одновременно из одного пункта в указанном направлении. Скорость одного из них 50 км/ч, второго – 40 км/ч. Через 0,5 ч в том же направлении из этого же пункта выехал третий автомобиль, догнавший первого на полтора часа позднее, чем второго. Найти скорость третьего автомобиля.
Задача 6. Из А в В со скоростью 4 км/ч вышел турист. Спустя 1 час вслед за ним из А вышел второй турист, проходивший в 1 час 5 км, а еще через час из А выехал велосипедист, который, обогнав одного туриста, через 10 мин обогнал и другого. Найти скорость велосипедиста.
Ситуация задачи 5 однозначна: второй автомобиль никогда не догонит первого. В задаче 6 велосипедист может догнать туристов в разной последовательности: сначала второго, затем первого или сначала первого, затем второго (это возможно, так как скорость второго больше скорости первого, и все зависит от того, насколько быстро едет велосипедист). Значит, при решении задачи 6 надо составить два уравнения (их решение подтвердит догадку: обе ситуации окажутся реальными).
Таким образом, активная работа с текстовой задачей может рассматриваться как средство обучения способам рассуждений, выбору стратегии решения, анализу ситуации и сопоставлению данных.