Информационно-методический и научно-педагогический журнал

bbs teen child fuck bbs

Аннотация:

Статья посвящена пропедевтике и решению простейших вероятностных задач, направленных на проверку умения проводить логически правильные рассуждения.

Ключевые слова:
Методика обучения математике; вероятностная задача.

ФГБОУ ВПО «Вологодский государственный университет»
.       В итоговых выпускных работах по математике последних лет присутствуют задания на проверку умения решать простые логические задачи, в формулировках которых содержатся выражения: «по крайней мере…», «хотя бы один», «не более…», «не менее…» и т.п. (например, задание 18 ЕГЭ по математике, базовый уровень, 2017 г.). Умение оперировать этими логическими связками является важной составляющей решения многих задач, в том числе вероятностных, на принцип Дирихле.

Приведем примеры упражнений на формирование понимания смысла выражений «по крайней мере», «по меньшей мере», «хотя бы» и т.п.; на простейшие логические операции, связанные с их применением, на построение утверждений, противоположных данным, содержащих указанные логические связки.

1. 10 карандашей разложили по трем коробкам: один в первую, два – во вторую, в третью – остальные. Верно ли, что:
а) в каждой коробке хотя бы один карандаш?
б) в любой коробке, по крайней мере, два карандаша?
в) хотя бы в двух коробках не более трех карандашей?
г) 7 карандашей есть не менее, чем в одной из коробок?

2. 10 яблок разложили по четырем корзинам: одно в первую, два – во вторую, три – в третью, в четвертую – остальные. Можно ли взять:
а) по 2 яблока хотя бы из двух корзин;
б) по одному яблоку, по крайней мере, из трех корзин;
в) по три яблока хотя бы из трех корзин?

3. Какое наименьшее число детей может быть в семье, если у каждого ребенка есть хотя бы одна сестра и хотя бы один брат?
Ответ: 4.

4. Разложили 20 апельсинов по четырем коробкам: 10 – в первую; 4 – во вторую, 3 – в третью и 3 – в четвертую.
Вместо точек вставьте числа так, чтобы выражения стали верными (где возможно, приведите несколько вариантов ответа):
а) в первой коробке хотя бы … апельсинов.
б) во второй коробке по крайней мере … апельсина.
в) в третьей коробке не менее … апельсинов.
г) в четвертой коробке менее … апельсинов.
д) по три апельсина можно взять хотя бы из … коробок.
е) по 4 апельсина можно взять по меньшей мере из … коробок.

5. Разложили 15 апельсинов в три коробки: три – в первую, пять – во вторую, остальные – в третью. Каждое из утверждений, данных ниже, закончите указанными словами так, чтобы утверждения стали верными (неверными).
Утверждения:
а) 3 апельсина лежит …;
б) во всех коробках есть …;
в) 7 апельсинов лежит …
Слова для вставки:
– хотя бы в одной коробке;
– хотя бы 3 апельсина;
– по крайней мере, в двух коробках;
– не менее 6 апельсинов.
Ответ:
Примеры верных утверждений: а) по 3 апельсина лежит, по крайней мере, в двух коробках; 3 апельсина лежит хотя бы в одной коробке; б) во всех коробках есть хотя бы по 3 апельсина; в) 7 апельсинов лежит хотя бы в одной коробке.
Примеры неверных утверждений: б) во всех коробках есть не менее, чем по 6 апельсинов; в) по 7 апельсинов лежит, по крайней мере, в двух коробках.

6. В данном утверждении есть слова: а) хотя бы; б) по крайней мере; в) не больше.
Какие слова будут в утверждении, его опровергающем?
Ответ: а) меньше чем; б) меньше чем (не более чем); в) больше чем (не менее чем).

7. Сформулируйте утверждения, опровергающие данные:
а) в коробке лежит хотя бы 3 ку­бика;
б) в коробке лежит, по крайней мере, 5 кубиков;
в) в коробке лежит меньше 4 кубиков;
г) в коробке лежит больше 8 кубиков.
Ответ: а) в коробке лежит меньше трех кубиков (не более двух кубиков); б) в коробке лежит меньше 5 кубиков (не более 4 кубиков); в) в коробке лежит хотя бы 4 кубика (по крайней мере 4 кубика); г) в коробке лежит не более 8 кубиков (меньше 9 кубиков).

8. Могут ли быть одновременно справедливы высказывания?
а) в каждой коробке хотя бы 4 карандаша. В первой коробке 3 карандаша;
б) во второй коробке хотя бы 4 карандаша. В любой коробке больше 5 карандашей.
Ответ: а) нет, не могут, так как на основании первого высказывания в каждой коробке должно быть 4 карандаша или больше (3<4); б) да, могут. Из второго утверждения следует, что в любой коробке 6 или больше карандашей. Поэтому, если во второй коробке 6 или больше карандашей, то оба высказывания справедливы.

9. На основании верных утверждений установите справедливость данных высказываний.
Верные утверждения:
а) всего 3 корзины;
б) в первой корзине не меньше двух яблок;
в) по 6 яблок можно взять не менее чем из двух корзин;
г) во второй корзине лежит 4 яблока.
Верны ли высказывания:
а) в каждой корзине хотя бы 4 яблока;
б) 7 яблок хотя бы в трех корзинах;
в) в любой корзине хотя бы 2 яблока.
Решение: а) если в корзине лежит хотя бы 4 яблока, то там 4 или больше яблок. Справедливо ли это для всех корзин – неизвестно; б) это высказывание несправедливо, так как в одной из корзин 4 яблока (во второй); в) высказывание справедливо, так как если в корзине лежит хотя бы 2 яблока, то там 2 или больше яблок, а по условию в каждой корзине не менее двух яблок.

10. Восстановите условие задачи на основе верных и неверных утверждений.
Верные утверждения:
а) всего 10 карандашей;
б) в каждой коробке, по крайней мере, 2 карандаша;
в) в первой коробке не более двух карандашей;
г) во второй коробке не более трех карандашей.
Неверные утверждения:
а) во второй коробке 2 карандаша.
Ответ: 10 карандашей разложили в три коробки: в первой коробке 2 карандаша, во второй – 3, в третьей – 5.

11. Можно ли разложить в три разные корзины 10 яблок так, чтобы все корзины были не пусты и:
а) в каждой корзине было хотя бы 3 яблока;
б) в любой корзине было бы, по крайней мере, 5 яблок;
в) в одной из корзин было бы, по крайней мере, 6 яблок;
г) 4 яблока было бы не менее, чем в двух корзинах.
Если «да», то рассмотрите все возможные случаи.
Решение: а) если в корзине хотя бы 3 яблока, то там 3 или больше яблок, то есть не менее трех яблок. Отсюда возможны следующие случаи: в первую корзину мы можем положить 3 или больше яблок, но не больше 4, так как не останется даже трех яблок на третью корзину. Ответ: 3 случая: 1) 3, 3, 4; 2) 3, 4, 3; 3) 4, 3, 3;
б) если в корзине лежит не менее 5 яблок, то там 5 яблок или больше. Наименьшее число яблок должно быть 15, а у нас их 10. Ответ: нельзя;
в) если в одной из корзин лежит, по крайней мере, 6 яблок, то там 6 или больше яблок. Мы можем положить 6 яблок или больше в любую из корзин, количество яблок в других корзинах нас не интересует. Ответ: 18 случаев (6, 3, 1), (6, 2, 2), (7, 2, 1), (8, 1, 1) далее, рассматривая перестановки для каждого набора, получим 3! + 3 + 3! + + 3 = 18;
г) положим по 4 яблока в каждую из двух корзин, 2 яблока – в оставшуюся. Ответ: 3 случая: 1) 4, 4, 2; 2) 4, 2, 4; 3) 2, 4, 4.

12. Можно ли разложить 5 карандашей в две коробки так, чтобы:
а) в каждой коробке было не менее двух карандашей;
б) в каждой коробке было хотя бы по одному карандашу;
в) в каждой коробке было, по крайней мере, 3 карандаша.
Ответ: а) можно; б) можно; в) нельзя.

Приведем примеры вероятностных задач, в формулировках которых присутствуют связки «по крайней мере…», «хотя бы один», «не более…», «не менее…» и т.п.

1. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью р = 0,2 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Введем обозначения: р = 0,2 – вероятность того, что автомат неисправен, q = 1 – 0,2 = 0,8 – вероятность того, что автомат исправен. Представим два решения задачи.

1-й способ. Фраза «хотя бы один автомат исправен» означает: «исправен первый и неисправен второй», или «неисправен первый и исправен второй», или «исправны оба автомата: первый и второй». В соответствии с представленной трактовкой, получаем решение:
0,2 ∙ 0,8 + 0,8 ∙ 0,2 + 0,8 ∙ 0,8 = 0,96.

2-й способ основан на построении противоположного события: оба автомата не исправны, то есть не исправен первый и не исправен второй. В этом случае решение имеет вид:
1 – 0,2 ∙ 0,2 = 0,96.

2. Вероятность поражения мишени биатлонистом при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что спортсмен попадет в мишень не менее двух раз при пяти выстрелах.
Решение: фразе «спортсмен попадет в мишень не менее двух раз при пяти выстрелах» соответствует событие А: «Спортсмен промахнется не более трех раз» или событие В: «Спортсмен попадет в мишень 2, или 3, или 4, или 5 раз».
В зависимости от выбранного варианта можно записать два способа решения задачи.
1 способ (используем утверждение А):
С35 • 0,23 • 0,82 + С25 • 0,22 • 0,83 + С15 • 0,21 • 0,84 + С05 • 0,20 • 0,85 = 0,99328;
2 способ (используем утверждение В): С25 • 0,82 • 0,23 + С35 • 0,83 • 0,22 + С45 • 0,84 • 0,21 + С55 • 0,85 • 0,20 = 0,99328.

3. Расход электроэнергии на протяжении суток не превышает установленной нормы с вероятностью р = 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии будет превышать нормы не более, чем в течение двух суток.
Решение: фразе «расход электроэнергии будет превышать нормы не более, чем в течение двух суток» соответствует событию: «Расход электроэнергии превышает нормы в течение одних или двух суток». Формула для решения следующая:
С26 • 0,252 • 0,754 + С16 • 0,251 • 0,755 ≈ 0,6526.

4. На математической олимпиаде школьникам предложено 9 задач. Событие А: «школьник решит более трех задач»; событие В: «школьник решит меньше шести задач»; событие С: «школьник решит более шести задач»; событие D: «школьник решит хотя бы две задачи»; событие Е: «школьник решит не менее пяти задач». Являются ли совместными события А и В, А и С, В и С? Постройте события, противоположные к событиям А, В, D, Е.
Решение: рассмотрим графическую иллюстрацию совместности событий А и В. Обозначим на прямой количество решенных задач числами 1, 2, 3, 4, …, 9 (рис. 1). Очевидно, события А и В совместны.
Используя аналогичную графическую иллюстрацию совместности событий В и С (рис. 2), видим, что события В и С несовместны.
На графической иллюстрации совместности событий А и С числа 1, 2, …, 9 означают, как и ранее, количество решенных задач. Очевидно, что события А и С совместны (рис. 3).
Сформулируем события противоположные к А, В, D, Е.
А – «школьник решит не более трех задач»;
В – «школьник решит не менее 6 задач»;
D – «школьник решит менее двух задач» или «школьник решит не более одной задачи»;
Е – «школьник решит не более четырех задач» или «школьник решит менее 5 задач».
Мы не ставили целью подбор большого количества задач. Каждая из предложенных задач представляет серию однотипных. Кроме того, не предполагается, что все задачи решаются на одном уроке. Целесо­образно включение подобных задач в устную работу на уроках математики в 5–11-х классах.


Т.Л. ПАНФИЛОВА,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВПО «Вологодский государственный университет»;

Н.А. ЦЫПЛЁНКОВА,
доцент ФГБОУ ВПО «Вологодский государственный университет»